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<title>Schnittebene</title>
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<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Schnittebene</span></h1>
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<p>Der Begriff <b>Schnittebene</b> hat in der <a href="Mathematik" title="Mathematik">Mathematik</a> mehrere Bedeutungen.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Die_Schnittebene_als_Resultat">Die Schnittebene als Resultat</h2></div>
<p>In der <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> bezeichnet der Begriff eine <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a>, die als <a href="Schnittpunkt" title="Schnittpunkt">Schnitt</a> mehrerer <a href="K%C3%B6rper_(Geometrie)" title="Körper (Geometrie)">Körper</a> in einem dreidimensionalen <a href="Vektorraum" title="Vektorraum">Vektorraum</a> definiert ist.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anwendungsbeispiele">Anwendungsbeispiele</h3></div>
<ul><li>Zur Berechnung des Schnittkreises zweier <a href="Kugel" title="Kugel">Kugeln</a> wird die Schnittebene, in der der Schnittkreis liegt, bestimmt, um diese dann mit der <a href="Verbindungsgerade" title="Verbindungsgerade">Verbindungsgeraden</a> der Kugelmittelpunkte zu schneiden, um den Mittelpunkt des Schnittkreises zu bestimmen.</li></ul>
<ul><li>Alternativ dazu kann auch diese Formel angewandt werden, um den Mittelpunkt des Schnittkreises aus den Radien und dem Abstand zwischen den Mittelpunkten der gegebenen Kugeln zu ermitteln, ohne eine Schnittebene bzw. Verbindungsgerade aufstellen zu müssen.</li></ul>
<p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{1}}">
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<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mi>M</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{1}}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/577d686fc81d1d1eb3ae54e78aeee8957baf6718.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.308ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{1}}" loading="lazy"></span> = Mittelpunkt der ersten Kugel
</p><p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{2}}">
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<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
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<mi>M</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
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</msub>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{2}}</annotation>
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d5d4dffae5ee0db4cc433e252ee9ed7530e5cf0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.308ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{2}}" loading="lazy"></span> = Mittelpunkt der zweiten Kugel
</p><p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}">
<semantics>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<mi>d</mi>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e85ff03cbe0c7341af6b982e47e9f90d235c66ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.216ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle d}" loading="lazy"></span> = Abstand zwischen <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{1}}">
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<mi>M</mi>
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<mn>1</mn>
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{1}}</annotation>
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/577d686fc81d1d1eb3ae54e78aeee8957baf6718.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.308ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{1}}" loading="lazy"></span> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle M_{2}}">
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<mi>M</mi>
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<mn>2</mn>
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<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle M_{2}}</annotation>
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</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d5d4dffae5ee0db4cc433e252ee9ed7530e5cf0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:3.308ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle M_{2}}" loading="lazy"></span>
</p><p><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\vec {M}}_{3}={\vec {M}}_{1}+\left({\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d^{2}}}+0{,}5\right)\cdot ({\vec {M}}_{2}-{\vec {M}}_{1})}">
<semantics>
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<mstyle displaystyle="true" scriptlevel="0">
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mover>
<mi>M</mi>
<mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
</mover>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>3</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mover>
<mi>M</mi>
<mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
</mover>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>+</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mfrac>
<mrow>
<msubsup>
<mi>r</mi>
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<mn>1</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msubsup>
<mo>−<!-- − --></mo>
<msubsup>
<mi>r</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msubsup>
</mrow>
<mrow>
<mn>2</mn>
<msup>
<mi>d</mi>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msup>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
<mo>+</mo>
<mn>0</mn>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mo>,</mo>
</mrow>
<mn>5</mn>
</mrow>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mo>⋅<!-- ⋅ --></mo>
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<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mover>
<mi>M</mi>
<mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
</mover>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>2</mn>
</mrow>
</msub>
<mo>−<!-- − --></mo>
<msub>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mover>
<mi>M</mi>
<mo stretchy="false">→<!-- → --></mo>
</mover>
</mrow>
</mrow>
<mrow class="MJX-TeXAtom-ORD">
<mn>1</mn>
</mrow>
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<mo stretchy="false">)</mo>
</mstyle>
</mrow>
<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\vec {M}}_{3}={\vec {M}}_{1}+\left({\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d^{2}}}+0{,}5\right)\cdot ({\vec {M}}_{2}-{\vec {M}}_{1})}</annotation>
</semantics>
</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f22f2e434454c27c141adc8e5fc006d962802545.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:43.629ex; height:7.509ex;" alt="{\displaystyle {\vec {M}}_{3}={\vec {M}}_{1}+\left({\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d^{2}}}+0{,}5\right)\cdot ({\vec {M}}_{2}-{\vec {M}}_{1})}" loading="lazy"></span>
</p><p>Der Mittelpunkt des Schnittkreises ist ebenfalls ein Punkt auf der Schnittebene und der Vektor zwischen den beiden Mittelpunkten stellt zugleich den Normalenvektor der Schnittebene dar, sodass man daraus die Schnittebene aufstellen kann.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Die_Schnittebene_als_Parameter">Die Schnittebene als Parameter</h2></div>
<p>Ebenfalls in der <a href="Geometrie" title="Geometrie">Geometrie</a> kann der Begriff auch eine <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a> bezeichnen, die mit einem <a href="K%C3%B6rper_(Geometrie)" title="Körper (Geometrie)">Körper</a> geschnitten wird um die <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkte</a> des Körpers, die auf dieser Schnittebene liegen, zu betrachten.
</p>
<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Anwendungsbeispiele_2">Anwendungsbeispiele</h3></div>
<ul><li>Mit einem <a href="Kegelschnitt" title="Kegelschnitt">Kegelschnitt</a> wird ein <a href="Kegel_(Geometrie)" title="Kegel (Geometrie)">Kegel</a> mit einer <a href="Ebene_(Mathematik)" title="Ebene (Mathematik)">Ebene</a> geschnitten; das Ergebnis ist eine <a href="Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">Kurve</a>.</li></ul>
<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Siehe_auch">Siehe auch</h2></div>
<ul><li><a href="Schnittgerade" title="Schnittgerade">Schnittgerade</a></li>
<li><a href="Kegelschnitt" title="Kegelschnitt">Kegelschnitt</a></li></ul></div><!--htdig_noindex--><div><div class="zim-footer">
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